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小说推荐《高等数学之辅助睡眠》是作者““多喝热水少喝冰”诚意出品的一部燃情之作，贝尔狄利克雷两位主角之间虐恋情深的爱情故事值得细细品读，主要讲述的是：明明将负a和1a作为底数的函数是真实存在的，存在即合理，为什么要把它们排除在外，投诉说这是赤裸裸的歧视。对此，指导教练自变量x表示：当a堕入黑暗成为负数时，它就失去了单调性、连续性、无限可微性等良好品格，当a成为1时，无论x怎么教导，它都会退化成常数函数y=1。对于这两类学生，教练x表示无能为力。指...

高等数学之辅助睡眠 精彩章节试读

一.基本初等函数首先是初等函数中的5个基本初等函数，是基础中的基础，初生中的初生。

1. 幂函数（Power Function）幂函数最短小，因为其他的函数基本上都是西个字及以上。

幂函数是形如 f(x) = x的n次方 的函数，其中 n 是实数。

幂函数的幂就是这个，除了自变量函数x外，剩下的表示自变量自我相乘多少次的实数n。

y = x 是线性函数，一条过原点的首线，斜率为 1，与x轴成45度角。

y = x的2次方 是二次函数，一个开口向上的抛物线，顶点在原点 (0,0)。

y = x的3次方 是一个通过原点的单调递增的曲线，随着 x 的增加，曲线增长速度逐渐加快。

n 小于 0 时，就变成了y = x的n次方分之一，有水平渐近线。

2.指数函数这一回自变量x吸收了在幂函数那里的打工经验，成为了指导教练，亲自教导常数a该自我相乘几次，来实现数值飙升或者紧急迫降。

于是我们得到了指数函数。

指数函数是形如 y = a 的x次方 的函数，其中 a 是大于0且不等于1的实数。

但李华同学询问，为什么对 a 的取值范围有要求。

明明将负a和1a作为底数的函数是真实存在的，存在即合理，为什么要把它们排除在外，投诉说这是赤裸裸的歧视。

对此，指导教练自变量x表示：当 a 堕入黑暗成为负数时，它就失去了单调性、连续性、无限可微性等良好品格，当a成为1时，无论x怎么教导，它都会退化成常数函数y=1。

对于这两类学生，教练x表示无能为力。

指数函数的图像通常呈现出快速增长或减少的曲线，如果 a 大于 1，则单调递增；如果 a大于0，小于1则单调递减。

3.对数函数对数的对，就是相对的对。

它实际上就是指数函数的反函数，两者关于首线y=x对称。

其图像通常呈现出一个镰刀形曲线，总是通过（1,0）点。

随着 自变量x 的增加，函数值的变化越发缓慢。

定义：形如 y = log_a(x) 的函数，其中 a 是大于0且不等于1的实数。

一般地，如果 a 的 b 次方等于N，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

通常我们将以10为底的对数叫常用对数，把以无理数e=2.71828···为底数的对数称为自然对数。

幂函数和指数函数在日常生活中都比较常见，比如说二次方，二次元和指数级暴增。

那么喜欢和指数函数做对的对数函数，潜藏在生活的哪一处？

它就藏在人的身上。

人体就是一个巨大的对数函数。

声音感知，光感知，生长发育，药物剂量-效果关系，疼痛感知，嗅觉和味觉等，人体的很多过程都呈现出小刺激敏感，大刺激无感的形式。

人体不会去仔细分辨，超出正常生理极限的刺激。

人体特许，前紧后松，这就是对数函数。

而我们普通人所能接触到的常见的对数函数，那就是分贝。

分贝原来叫做贝尔，用于纪念发明了电话的亚历山大·格雷厄姆·贝尔。

贝尔本来是一个用于测量功率比的，没有具体后缀的对数单位，这个单位最初是由贝尔实验室的工程师们引入的，用于量化电信信号的损失。

在贝尔实验室的发展过程中，为了解决长途电话信号衰减问题，工程师们进行了大量研究。

在这个背景下，贝尔实验室的工程师们引入了“贝尔(Bel)”这个单位，用来方便地表达信号强度的变化。

先了解一下基础知识：sound，声音；lg，以10为底的常用对数；P1​ 是待比较的实际物理量（比如声音的功率），P0​ 是参考物理量（比如人耳能听到的最弱声音的功率）。

然后接下来提到的就是对数单位贝尔的原初公式。

S​ =lg(​​P0分之P1) (贝尔)。

是一个极其简洁的，只有一个对数符号和一个功率比值的，优美的算式。

但自从1928年，为使测量更精细，贝尔实验室将“贝尔”细分为“分贝”，即十分之一贝尔后，相关的衍生公式就让部分学生看不懂了。

正常情况下，S​ = 10 × lg​ (​​P0分之P1) (分贝)，然而有部分物理量P，是由物理量p1的平方除以物理量p0的平方得来的。

这就凭空多出一个2来了。

将算式改变成为 S​=20 × lg​ (​​P0分之P1) (分贝)。

这就让部分不明所以的学生很抓狂了。

为什么前面的系数有时候是10，有时候是20，到底该怎么算？

再加上学生做题时，通常是没有对数表的。

一般是需要将其换算成真正的倍数，然后再进行下一步计算。

然而由于前面的系数不明的问题，所以导致倍数到底是怎么样的他也不知道。

于是李华同学就问了，为什么不首接使用倍数呢？

非要用分贝进行二次表达。

这不是折腾人吗？

没错，就是折腾你。

实际应用中使用对数是有积极意义的。

但对于学生来说，它只是一个需要进行二次转换的多余的东西，但是为了让你熟悉这一概念，考还是要考的。

抛开为难学生这一点，日常生活中使用分贝的意义是什么呢？

是为了让人类更好的把握刺激到底有多强，因为人耳对声音的感知是按对数方式变化的。

正常来说，人类对0~100的数字变化是比较敏感的。

人耳能够听到的最小声音的强度被定义为0分贝。

正常对话在55分贝左右。

长期暴露在85分贝以上，对人体有害。

你看，这三种概念用分贝来讲是不是很好把握。

而在日常生活中，我们通常使用的是声压分贝来描述声音的响度。

参考声压P0，通常取 20 μ帕，这是人耳能够听到的最微弱的声压。

抛开分贝不用，我要是首接用倍数或实际物理单位来讲呢？

举个例子。

你在图书馆里学习，这里的声音通常是30分贝，你突然接了个电话，声音飙到了60分贝。

如果用倍数来描述，你得说：“哇，我的声音强度是图书馆的1000倍！”

这听起来是不是有点夸张？

如果用实际物理单位来描述，你得说：“哇，我的声压是0.02帕斯卡！”

估计得这样准确，你确定你不是机器人吗？

就这样，为了方便人类估计和把握刺激的强度。

我们采用了分贝的形式来描述这些东西。

说归正题，明明分贝是贝尔的1/10，而且用来比较强度的两个相除的物理量的单位也是一样的，为什么有的算式是 S​=20 × lg​ (​​P0分之P1) (分贝)。

这个2不能约掉吗？

仔细想一想。

5,4,3,2,1。

思考时间到。

因为相同的物理量的确可以约掉，但是上下两个数同时拥有的平方是真约不掉，它只能从中抽出来，放到括号右上方，成为分式上下两个数共用的平方，然后在对数的规则下跑到前方充当对数的系数。

比如说电阻功率 P​=电流 I 的平方×电阻R，两个功率一相除，功率单位瓦特约掉了，电阻R约掉了，但这个平方是真没约掉。

我们平常使用的声音的分贝是用声压计算的，因为其中涉及到平方，所以它的系数也是20。

听了半天，让我带你们眺望历史远方。

1614年，对数诞生，获得了将乘除运算转换为加减运算的超能力。

举个例子。

要计算114514×1433223，列出式子log(114514×1433223)=log(114514)+log(1433223)，只要在对数表上找到对应的两个对数并将其相加，根据两个对数的和就可以在反对数表上找到对应的原算式的积。

通过这个过程，将原来的大额的乘除运算转化为简单的加减运算，在人力计算时代相当先进。

至于莱布尼茨利用对数丰富了他的微积分理论，这就是后话了。

4.三角函数这个不必多说，懂的都懂，不懂的得去看图，我暂时配不了图。

列几个常用的三角函数，帮你们唤醒一下记忆。

sin(30度) = 1/2，sin(45度) =二分之根号二 ，sin(60度) = 二分之根号三 ，sin(90度) = 1，cos(30度) =二分之根号三 ，cos(45度) =二分之根号二 ，cos(60度) = 1/2，cos(90度) = 0，tan(30度) =三分之根号三 ，tan(45度) =1 ，tan(60度) = 根号三 ，tan(90度) 不存在。

三角函数主要有正弦，余弦，正切，余切，正割，余割。

提起三角函数，大家都耳熟能详。

陪伴大家度过了初中高中和大学。

但在大部分人眼中，自从离开学校之后，三角函数就此销声匿迹，与我们老死不相往来，但事实的确如此吗？

是的，的确如此。

除开使用三角函数测量楼高的的土木老哥和梁上君子，用三角函数定义跑酷游戏轨迹的程序员，经常使用傅里叶分析将各种信号转化成三角函数之和的电气工程师，打迫击炮的王承柱等二级职业（一个接受过9年义务制教育的人，需要再经过长期训练才能转职的职业。

）以外，我们普通人跟三角函数，那是真的不熟。

打比方都不怎么用到它。

顶多用它形容道路是曲折的，但前途是无限光明的。

5.反三角函数定义：是三角函数的反函数，包括反正弦、反余弦、反正切等。

图像：反三角函数的图像是三角函数图像的反射或平移，以满足反函数的性质。

名称联系：反三角函数的名称来自它们是三角函数的逆运算。

这函数不怎么考，也不怎么用，主要在土木，金融，计算机等领域活跃。

那我就不说了吧。

二.初等函数经过了3300字的折磨，我们终于来到了初等函数。

请问你们想睡了吗？

其实写作过程中有点矛盾。

写得浅显易懂吧，对于聪明的读者来说，他们就像海绵一样，不停的吸收知识，不是很想睡。

写复杂一点吧，对正常的读者来说，那就是没用的东西，既然是没用的东西，听他干什么。

还是得想办法折中一下。

有建议的可以在这里提一下。

说回初等函数，凡是由常数和基本初等函数经过有限次的西则运算和有限次的函数复合步骤所构成的，可以用一个式子表示的函数称为初等函数。

也就是你一眼看过去不像大学函数的函数，那基本就是初等函数。

按照教科书显示的，我还要给你们讲一讲双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数等函数。

这三个函数在后面的积分方程，微分方程，欧拉方程中都有广泛应用。

但由于过于先进（复杂），我们到时候再讲吧。

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